Question

【題目】已知函數f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的單調區間；

(2)是否存在實數a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) f(x)的單調遞增區間是(－1,1)，遞減區間是(1,3)．

(2) 存在實數使f(x)的最小值為0.

【解析】分析：（1）根據f（1）=1代入函數表達式，解出a=﹣1，再代入原函數得f（x）=log4（﹣x2+2x+3），求出函數的定義域后，討論真數對應的二次函數在函數定義域內的單調性，即可得函數f（x）的單調區間；

（2）先假設存在實數a，使f（x）的最小值為0，根據函數表達式可得真數t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真數t的最小值恰好是1，再結合二次函數t=ax2+2x+3的性質，可列出式子：，由此解出a=，從而得到存在a的值，使f（x）的最小值為0．

詳解：（1）∵f（x）=log4（ax2+2x+3）且f（1）=1，

∴log4（a12+2×1+3）=1a+5=4a=﹣1

可得函數f（x）=log4（﹣x2+2x+3）

∵真數為﹣x2+2x+3＞0﹣1＜x＜3

∴函數定義域為（﹣1，3）

令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

可得：當x∈（﹣1，1）時，t為關于x的增函數；

當x∈（1，3）時，t為關于x的減函數．

∵底數為4＞1

∴函數f（x）=log4（﹣x2+2x+3）的單調增區間為（﹣1，1），單調減區間為（1，3）

（2）設存在實數a，使f（x）的最小值為0，

由于底數為4＞1，可得真數t=ax2+2x+3≥1恒成立，

且真數t的最小值恰好是1，

即a為正數，且當x=﹣=﹣時，t值為1．

∴a=

因此存在實數a=，使f（x）的最小值為0．