Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若函數有兩個零點，求的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ），見解析

【解析】

（Ⅰ）求導后，分及討論即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有兩個零點，必須有且最小值，即可得到，因為有兩個零點，不妨設，則，即，要證：，即證：，即證：，令，利用導數研究函數的單調性，即可得證；

解：（Ⅰ），

當時，，在上單調遞增；

當時，當時，，在上單調遞增；

當時，，在上單調遞減.

綜上可知，當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有兩個零點，

必須有且最小值，

∴，∴，

又∵當時，；當時，，

∴，有兩個零點，不妨設，∴，

此時，，

即，，

∴，

要證：，即證：，

即證：，即證：，即證：，

又，∴，

即證：，即證：，

令

，

，當僅當取“”，

∴在上為增函數，∴，

∴成立，

∴成立.