Question

【題目】已知是定義在上的偶函數，且時，.

（1）求，；

（2）求函數的解析式；

（3）若，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）0，-1

（2）

（3）

【解析】

試題（1）代入x的值，求出函數值即可；
（2）根據函數的奇偶性求出函數的解析式即可；
（3）通過討論a的范圍，得到關于a的不等式，解出即可．

試題解析：

(1)因為當x≤0時，f(x)＝log(－x＋1)，

所以f(0)＝0.

又因為函數f(x)是定義在R上的偶函數，

所以f(1)＝f(－1)＝log[－(－1)＋1]＝log2＝－1，

即f(1)＝－1.

(2)令x>0，則－x<0，

從而f(－x)＝log(x＋1)＝f(x)，

∴x>0時，f(x)＝log(x＋1)．

∴函數f(x)的解析式為f(x)＝

(3)設x1，x2是任意兩個值，且x1<x2≤0，

則－x1>－x2≥0，

∴1－x1>1－x2>0.

∵f(x2)－f(x1)＝log(－x2＋1)－log(－x1＋1)＝log>log1＝0，

∴f(x2)>f(x1)，

∴f(x)＝log(－x＋1)在(－∞，0]上為增函數．

又∵f(x)是定義在R上的偶函數，

∴f(x)在(0，＋∞)上為減函數．

∵f(a－1)<－1＝f(1)，

∴|a－1|>1，解得a>2或a<0.

故實數a的取值范圍為(－∞，0)∪(2，＋∞)．