Question

【題目】已知函數.（其中為自然對數的底數）

（1）若，且在上是增函數，求的最小值；

（2）設，若對任意、恒有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）最小值是；（2）.

【解析】

（1）將代入函數的解析式可得，求出導數，可得知函數在上為增函數，然后利用零點存在定理可知函數在區間在存在極小值點，從而得出函數在上單調遞增，由此可求出自然數的最小值；

（2）求出函數的導數，構造函數，可得出函數在上為增函數，由零點存在定理可知，存在，使得，可得出，分析函數的函數值符號可得出為函數的最小值點，并構造函數，可得出，由此可得出函數的最小值為，根據題意得出，從而求出實數的取值范圍.

（1）當時，，，

在上是增函數，且，，

所以存在，使得在上是減函數，在上是增函數，

因此，的最小值是；

（2），，

設，則在上是增函數，

且，，所以存在，使得，

所以時，，，是減函數；

時，，，是增函數，所以.

由得，設，則，

由在上是增函數，可得，，

所以，

所以的值域為，若對任意恒有，

則，即，所以的取值范圍是.