Question

【題目】已知四棱錐的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，E為CD的中點，

（1）證明:平面PBD平面ABCD；

（2）若，PC與平面ABCD所成的角為，試問“在側面PCD內是否存在一點N，使得平面PCD？”若存在，求出點N到平面ABCD的距離；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在N點到平面ABCD的距離為

【解析】

（1）通過證明，結合題目所給已知，由此證得平面，進而證得平面平面.

（2）存在.通過（1）的結論，利用面面垂直的性質定理建立空間直角坐標系，假設存在符合題意的點，使平面，利用向量線性運算設出點坐標，結合求得點坐標，由此證得存在一點，使得平面.利用點到平面距離的向量求法，求得點到平面的距離.

（1）證明:由四邊形ABCD是直角梯形, AB=，BC=2AD=2，AB⊥BC，

可得DC=2,∠BCD=，從而△BCD是等邊三角形,BD=2,BD平分∠ADC.

∵E為CD的中點,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,

又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD.

(2) 存在.在平面PBD內作PO⊥BD于O,連接OC,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,

∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角, 則∠PCO=

∴易得OP=OC=，PB=PD,PO⊥BD,所以O為BD的中點，OC⊥BD.

以OB,OC,OP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則B(1,0,0),C（0,，0）D(-1,0,0),P（0,0,）假設在側面內存在點，使得平面成立，

設，易得 由得，滿足題意，所以N點到平面ABCD的距離為