Question

【題目】在直角坐標系xoy中，曲線C的參數方程為 （t為參數，a＞0）以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為 ． （Ⅰ）設P是曲線C上的一個動點，當a=2時，求點P到直線l的距離的最小值；
（Ⅱ）若曲線C上的所有點均在直線l的右下方，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ，

化成直角坐標方程，得 ，即直線l的方程為x﹣y+4=0．

依題意，設P（2cost，2sint），則P到直線l的距離 ，

當 ，即 時， ．

故點P到直線l的距離的最小值為 ．

（Ⅱ）∵曲線C上的所有點均在直線l的右下方，∴對t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，

即 （其中 ）恒成立，∴ ，又a＞0，解得 ，

故a的取值范圍為 ．

【解析】（Ⅰ）求出直線的普通方程，設P（2cost，2sint），則P到直線l的距離 ，即可求點P到直線l的距離的最小值；（Ⅱ）若曲線C上的所有點均在直線l的右下方，則對t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，即 （其中 ）恒成立，即可求a的取值范圍．