Question

【題目】已知函數．

（1）當時，若函數在，（）處導數相等，證明：；

（2）是否存在，使直線是曲線的切線，也是曲線的切線，而且這樣的直線是唯一的，如果存在，求出直線方程，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在，

【解析】

（1）求導，則，化簡得到，再利用均值不等式到答案.

（2）先設切點求切線方程，再根據切線重合得關于一個切點橫坐標的函數，利用導數研究函數只有一個零點的情況，即得答案.

（1）當時，，所以，

由題意，得，因為，所以，

所以，所以，

所以．

（2）曲線在點處的切線方程為：

，

函數在點處的切線方程，

要存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線，

只需在處使與重合，

所以

由①得代入②整理得，

設，

則，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增，

則，設，，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．

所以．

（ⅰ）當時，，所以，

此時，所以方程有唯一解，

即，此時切線方程為；

（ⅱ）當且時，，

當時，，則，

故函數單調遞增，當時，函數單調遞減，故，

故，同理可證，成立．

因為，則

.

又由當時，，可得，

則，

所以函數有兩個零點，

即方程有兩個根，，

即，此時，，則，

所以，

因為，，所以，所以直線不唯一．

綜上所述，存在，使是曲線的切線，也是曲線的切線，而且這樣的直線是唯一的．