Question

【題目】已知曲線上任意一點滿足，直線的方程為，且與曲線交于不同兩點，.

（1）求曲線的方程；

（2）設點，直線與的斜率分別為，，且，判斷直線是否過定點？若過定點，求該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，.

【解析】

（1）把已知等式根式里式子配方后由幾何意義得出動點到兩定點距離之和為定值，從而確定動點軌跡是橢圓，根據橢圓標準方程得出結論；

（2）設與的交點，，聯立直線與曲線的方程：，消整理，應用韋達定理得，代入，得的關系，由此求得直線過定點的坐標．

（1）由可化得

，設，，

則等式即為，且，所以曲線是橢圓，焦點為，（在

軸上），長半軸長，半焦距，短半軸長，

所以曲線的方程為.

（2）聯立直線與曲線的方程：，消整理得

，

∵直線與曲線交于不同兩點，，

∴，得，

設與的交點，，

則，.

由題意，

∴，

由得，且滿足，則：，

所以直線經過定點.