Question

【題目】已知函數.

（1）判斷函數在上的單調性，并證明；

（2）若恒成立，求的最小值；

（3）記，求集合中正整數的個數；

Answer 1

【答案】（1）單調遞增，證明見解析（2）4（3）見解析

【解析】

（1）去掉絕對值符號后由二次函數性質可得，并按定義證明；

（2）直接代入解析式．不等式為二次不等式，由一元二次不等式恒成立可得；

（3）求出和，利用二項式定理確定除以3所得余數，從而可確定怎樣計算上正整數個數．

（1）在單調遞增

證明：任取

∵，∴，

又，則

則，則單調遞增.

（2）由恒成立可得

恒成立，且

∴恒成立，

∴，解得：

所以，的最小值為4.

（3），

則時，區間為，正整數個數為0，

時，∵

為偶數時，；

為奇數時，；

而同奇偶，同奇偶

①為偶數時，正整數個數為：

②為奇數時（）

正整數個數為：.