Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點．

（1）若為線段上的動點，證明：平面平面；

（2）若為線段，，上的動點（不含，），，三棱錐的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.

【解析】

(1)利用,可得平面,根據面面垂直的判定定理可證平面平面;

(2) 由底面，得平面平面．將問題轉化為點到直線的距離有無最大值即可解決.

（1）證明:因為，為線段的中點，所以,

因為底面，平面，所以,

又因為底面為正方形，所以，,

所以平面,

因為平面，所以,

因為，所以平面,

因為平面，所以平面平面.

（2）由底面，則平面平面,

所以點到平面的距離（三棱錐的高）等于點到直線的距離,

因此，當點在線段，上運動時，三棱錐的高小于或等于2,

當點在線段上運動時,三棱錐的高為2,

因為的面積為,

所以當點在線段上，三棱錐的體積取得最大值,

最大值為.

由于三棱錐的體積等于三棱錐的體積,

所以三棱錐的體積存在最大值.