Question

若函數f（x）=x³+ax²+bx+c在R上有三個零點，且同時滿足：
①f（1）=0；
②f（x）在x=0處取得極大值；
③f（x）在區間（0，1）上是減函數．
（Ⅰ）當a=-2時，求y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若g（x）=1-x，且關于x的不等式f（x）≥g（x）的解集為[1，+∞），求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：由f（1）=0得：1+a+b+c=0，f'（x）=3x²+2ax+b．
因為f（x）在x=0處取得極大值，所以 f'（0）=0，即b=0．
因為f（x）在區間（0，1）上是減函數，則f'（1）≤0，所以 3+2a≤0，所以 ．
（Ⅰ） 當a=-2時，f'（x）=3x²-4x，所以 f'（2）=4
由a=-2，b=0，1+a+b+c=0，所以 c=1
所以 f（x）=x³-2x²+1，則點（2，f（2））為（2，1），
所以切線方程為：y-1=4（x-2），即y=4x-7．
（Ⅱ） f（x）-g（x）=x³+ax²-1-a-1+x=x³+ax²+x-a-2，f（1）-g（1）=1+a+1-a-2=0
要使f（x）≥g（x）的解集為[1，+∞），必須x²+（1+a）x+（a+2）≥0恒成立
所以，△=（1+a）²-4（a+2）＜0（1），或（2）
解得：（1）得，解（2）得-2．
又∵，∴-2≤a．
所以使不等式f（x）≥g（x）的解集為[1，+∞）的實數a的取值范圍是[-2，-]．
分析：（Ⅰ）首先由題目給出的條件求出b的值，a的范圍及a和c的關系，然后把a=-2代入函數f（x）的解析式，求出函數在x=2時的導數，利用點斜式求y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）把c用a表示，化簡不等式f（x）≥g（x），把該不等式恒成立轉化為二次不等式恒成立的問題，然后利用“三個二次”的結合列式求解實數a的取值范圍．
點評：本題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線的方程，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件，考查了數學轉化思想方法解答（Ⅱ）的關鍵是把三次不等式恒成立轉化為常見的二次不等式恒成立問題，是難題．