Question

已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3
（1）求正三棱錐S-ABC外接球半徑；
（2）在正三棱錐內任取一點P，求點P滿足V_P-ABC＜

1

3

V_S-ABC的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,球的體積和表面積,球內接多面體

專題：計算題,概率與統計

分析：（1）由題意推出球心O到四個頂點的距離相等，利用勾股定理，求出球的半徑，
（2）作出S在底面△ABC的射影為O，若V_P-ABC=

1

3

V_S-ABC，則高OP=

1

3

SO，所以概率為棱臺與原棱錐體積之比，用相似比計算即可．

解答： 解：（1）由題意，設正三棱錐S-ABC外接球半徑為R，則
∵球心O到四個頂點的距離相等，正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，
∴R²=（

3

3

×4）²+（3-R）²，
∴外接球的半徑為R=

43

18

；
（2）作出S在底面△ABC的射影為O，
若V_P-ABC=

1

3

V_S-ABC，則高OP=

1

3

SO，
∴V_P-ABC＜

1

3

V_S-ABC的概率P=1-（

1

3

）³=

26

27

．

點評：本題是基礎題，考查空間想象能力，計算能力；考查幾何概型的概率計算，求出對應的體積關系是解決本題的關鍵，根據比例關系，得到面積之比是相似比的平方，體積之比是相似比的立方．