Question

（2012•東莞二模）已知△ABC的邊AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，M（2，0）滿足

BM

=

MC

，點T（-1，1）在AC邊所在直線上且滿足

AT

•

AB

=0．
（1）求AC邊所在直線的方程；
（2）求△ABC外接圓的方程；
（3）若動圓P過點N（-2，0），且與△ABC的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由已知

AT

•

AB

=0可得△ABC為Rt△ABC，由AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，可求直線AC的斜率，點T（-1，1）在直線AC上，利用直線的點斜式可求
（2）AC與AB的交點為A，聯立方程可求A的坐標，由

BM

=

MC

，結合直角三角形的性質可得MRt△ABC的外接圓的圓心，進而可求r=|AM|，外接圓的方程可求
（3）由題意可得|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

，結合圓錐曲線的定義可求軌跡方程

解答：解：（1）∵

AT

•

AB

=0
∴AT⊥AB，又T在AC上
∴AC⊥AB，△ABC為Rt△ABC，
又AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，所以直線AC的斜率為-3．
又因為點T（-1，1）在直線AC上，
所以AC邊所在直線的方程為y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．
（2）AC與AB的交點為A，所以由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

解得點A的坐標為（0，-2），
∵

BM

=

MC

∴M（2，0）為Rt△ABC的外接圓的圓心
又r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
從△ABC外接圓的方程為：（x-2）²+y²=8．
（3）因為動圓P過點N，所以|PN|是該圓的半徑，又因為動圓P與圓M外切，
所以|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

．
故點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長為2

2

的雙曲線的左支．
因為實半軸長a=

2

，半焦距c=2．所以虛半軸長b=

c2-a2

=

2

．
從而動圓P的圓心的軌跡方程為

x2

2

-

y2

2

=1(x≤-

2

)．

點評：本題主要考查了兩直線垂直的斜率關系的應用，直線方程的點斜式的應用，直角三角形的外接圓的性質的應用及橢圓定義、橢圓方程求解等知識的綜合應用，本題考查的知識點較多，要求考生具備綜合應用知識的能力