Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為：（為參數）.在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為.

（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；

（Ⅱ）設點P的直角坐標為，若直線l與曲線C分別相交于A，B兩點，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據參數方程與普通方程的轉化即可得曲線C的普通方程；由極坐標與直角坐標的轉化可得直線l的直角坐標方程；

（Ⅱ）將直線l的直角坐標方程化為標準參數方程，聯立橢圓方程，結合參數方程的幾何意義即可求解.

（Ⅰ）曲線C的參數方程為：（為參數）.

變形為,平方相加后可轉化為直角坐標方程得.

直線l的極坐標方程為.

展開可得,即

化簡可得直角坐標方程為.

（Ⅱ）把直線的方程為轉換為標準參數方程可得（t為參數）.

把直線的標準參數方程代入曲線的直角坐標方程，

可得，

所以，，

所以由參數方程的幾何意義可知