Question

在中，，動點P的軌跡為曲線E，曲線E過點C且滿足|PA|+|PB|為常數。
（1）求曲線E的方程；
（2）是否存在直線L，使L與曲線E交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線平分？若存在，求出L的斜率的取值范圍；若不存在說明理由。

Answer 1

（1）略（2）

本試題主要是考查了橢圓方程求解以及直線與橢圓的位置關系的綜合運用。
（1）根據已知條件，易知，又因為，所以，
所以，
由|PA|+|PB|的值為常數知動點P的軌跡為焦點在y軸上的橢圓
（2）聯立方程組，結合韋達定理，表示得到參數k的等式，進而求解其范圍。
解：（1）易知，又因為，所以，
所以，
由|PA|+|PB|的值為常數知動點P的軌跡為焦點在y軸上的橢圓 ------4分
其中  ------6分
（2）假設L存在，因為L與直線相交，所以直線L有斜率，
設L的方程為   ----------------7分
由得 （*） ------9分
因為直線L與橢圓有兩個交點
所以（*）的判別式 ① -----10分
設，則    -------------11分
因為MN被直線平分
所以 ②  ----------12分
把②代入①得
因為 所以  ---------------13分 
所以所以或
即直線L的斜率取值范圍是   ------------14分