Question

（本題滿分14分）
已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C上的動點P引圓O：x²+y²=b²的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點，試探究橢圓C上是否存在點P，由點P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1).  (2)橢圓C上存在四個點，分別由這四個點向圓O所引的兩條切線均互相垂直.  

本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題．解決第二問的關鍵在于根據條件分析出AOBP為正方形，|AO|=|AP|，得到關于點P坐標的等式．
（1）直接根據條件列出 a²=b²+c^2，a=3，e=，解方程求出b，c即可得到橢圓C的方程；
（2）先根據條件分析出AOBP為正方形，|AO|=|AP|，得到關于點P坐標的等式；再結合點P在橢圓上即可求出點P的坐標．
解：(1)設橢圓的半焦距為c,依題意, ∴b=2,   ---------2分
∴所求橢圓方程為.      ---------------4分

(2)如圖，設P點坐標為(x₀,y₀),                -------5分
若∠APB=90°,則有|OA|=|AP|.               ---------6分
即|OA|=,
有2=,
兩邊平方得x₀²+y₀²=8                      ①
又因為P(x₀,y₀)在橢圓上，所以4x₀²+9y₀²=36 ②
①,②聯立解得            ---------9分
所以滿足條件的有以下四組解
     -----------12分
所以，橢圓C上存在四個點，分別由這四個點向圓O所引的兩條切線均互相垂直.         --------14分