Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣mx，
（1）求函數f（x）的單調區間．
（2）若函數g（x）=f（x）﹣lnx+x2存在兩個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex﹣m，

若m≤0，則f′（x）＞0恒成立，

f（x）在R遞增，無遞減區間；

m＞0時，由f′（x）=0，得：x=lnm，

令f′（x）＞0，解得：x＞lnm，

令f′（x）＜0，解得：x＜lnm，

故f（x）在（﹣∞，lnm）遞減，在（lnm，+∞）遞增

（2）解：由g（x）=f（x）﹣lnx+x2=0，

得m= ，

令h（x）= ，

則h′（x）= ，

觀察得x=1時，h′（x）=0．

當x＞1時，h′（x）＞0，

當0＜x＜1時，h′（x）＜0，

∴h（x）min=h（1）=e+1，

∴函數g（x）=f（x）﹣lnx+x2存在兩個零點時，m的取值范圍是（e+1，+∞）

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）由g（x）=f（x）﹣lnx+x2=0，分離出m，令h（x）= ，由此能求出函數g（x）=f（x）﹣lnx+x2存在兩個零點時m的取值范圍．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．