Question

【題目】如圖，已知直線l1：kx+y=0和直線l2：kx+y+b=0（b＞0），射線OC的一個法向量為 =（﹣k，1），點O為坐標原點，且k≥0，直線l1和l2之間的距離為2，點A、B分別是直線l1、l2上的動點，P（4，2），PM⊥l1于點M，PN⊥OC于點N；

（1）若k=1，求|OM|+|ON|的值；
（2）若| |=8，求 的最大值；
（3）若k=0，AB⊥l2 ， 且Q（﹣4，﹣4），試求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵k=1．

∴射線OC的一個法向量為 =（﹣1，1），

∴射線OC的斜率為1，射線OC的方程為：y=x（x≥0）．

∴|PN|= = ，|OP|= =2 ，

∴|ON|= =3 ．

直線l1：x+y=0，|PM|= =3 ，

∴|OM|= = ．

∴|OM|+|ON|=4

（2）解：k≥0，b＞0，直線l1和l2之間的距離為2，

∴ =2，化為：b2=4（k2+1）．

設A（m，﹣km），B（n，﹣kn﹣b）．

∵P（4，2），| |=8，

∴ =（m+n﹣8，﹣km﹣kn﹣b﹣4），

則（m+n﹣8）2+（km+kn+b+4）2=64≥2（m﹣4）（n﹣4）+2（km+2）（kn+b+2），

=（m﹣4）（n﹣4）+（﹣km﹣2）（﹣kn﹣b﹣2）

=（m﹣4）（n﹣4）+（km+2）（kn+b+2）≤32，

故 的最大值為32

（3）解：k=0，直線l1：y=0，直線l2：y+2=0，如圖所示．

作出點P關于直線y=﹣1的對稱點M（4，﹣4），則|PA|=|BM|．

設B（x，﹣2）．

∴|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2

= + +2，

同理由對稱性可得：當且僅當B取點（0，﹣2）時，

|BM|+|QB|取得最小值2 =4 ．

∴|PA|+|AB|+|BQ|的最小值為4 +2．

【解析】（1）若k=1，則可得|OM|= ．|ON|=3 ，進而得到|OM|+|ON|的值；（2）若| |=8，利用柯西不等式可得 ≤32；（3）若k=0，AB⊥l2 ， 且Q（﹣4，﹣4），|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2，當且僅當B取點（0，﹣2）時，|BM|+|QB|取得最小值．