Question

f（x）=x³-ax-1
（1）若f（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減？若存在，求出a得取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-a，3x²-a≥0在R上恒成立，∴a≤0．
又a=0時(shí)，f（x）=x³-1在R上單調(diào)遞增，∴a≤0．
（2）假設(shè)存在a滿足條件，由題意知，
f′（x）=3x²-a≤0在（-1，1）上恒成立，
即a≥3x²在（-1，1）上恒成立，∴a≥3．
又a=3，f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3（x²-1）在（-1，1）上，
f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，
∴a≥3．
分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），要使f（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，只需f′（x）≥0在R上恒成立，再驗(yàn)證等號是否成立，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）欲使f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，只需f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立，利用分離法將a分離出來，求出不等式另一側(cè)的最大值，再驗(yàn)證等號是否成立，即可求出a的范圍；
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，注意驗(yàn)證取等號是否成立，考查計(jì)算能力和分析問題的能力．