Question

已知f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調增函數，則a的最大值是

3

．

Answer 1

分析：法一：先利用導函數求出原函數的單調增區間，再讓[1，+∞）是所求區間的子集可得結論．
法二：由題意a＞0，函數f（x）=x³-ax，首先求出函數的導數，然后根據導數與函數單調性的關系進行判斷．

解答：解：法一∵f（x）=x³-ax，∴f′（x）=3x²-a=3（x-

a 3

）（x+

a 3

）
∴f（x）=x³-ax在（-∞，-

a 3

），（

a 3

，+∞）上單調遞增，
∵函數f（x）=x³-ax在[1，+∞）上單調遞增，
∴

a 3

≤1⇒a≤3
∴a的最大值為 3
法二：由法一得f′（x）=3x²-a，
∵函數f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調增函數，
∴在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，
即a≤3x²在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤3，
故答案為：3．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數導數與函數單調性之間的關系、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．