Question

f（x）=x³-ax-1
（1）若f（x）在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使f（x）在（-1，1）上單調遞減？若存在，求出a得取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函數f（x）的導函數f′（x），要使f（x）在實數集R上單調遞增，只需f′（x）≥0在R上恒成立，再驗證等號是否成立，即可求出實數a的取值范圍；
（2）欲使f（x）在（-1，1）上單調遞減，只需f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立，利用分離法將a分離出來，求出不等式另一側的最大值，再驗證等號是否成立，即可求出a的范圍；

解答：解：（1）f′（x）=3x²-a，3x²-a≥0在R上恒成立，∴a≤0．
又a=0時，f（x）=x³-1在R上單調遞增，∴a≤0．
（2）假設存在a滿足條件，由題意知，
f′（x）=3x²-a≤0在（-1，1）上恒成立，
即a≥3x²在（-1，1）上恒成立，∴a≥3．
又a=3，f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3（x²-1）在（-1，1）上，
f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（-1，1）上單調遞減，
∴a≥3．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，注意驗證取等號是否成立，考查計算能力和分析問題的能力．