Question

設t≠0，點P（t，0）是函數f（x）=x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象的一個公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線．
（Ⅰ）用t表示a，b，c；
（Ⅱ）若函數y=f（x）-g（x）在（-1，3）上單調遞減，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據函數f（x），g（x）的圖象都過點（t，0），以及f（x），g（x）在點（t，0）處有相同的切線，建立方程組，即可用t表示a，b，c；
（II）先利用導數求出y=f（x）-g（x）的單調減區間，然后使（-1，3）是單調減區間的子集，建立關系式，解之即可求出t的范圍．

解答：解：（I）因為函數f（x），g（x）的圖象都過點（t，0），所以f（t）=0，
即t³+at=0．因為t≠0，所以a=-t²．g（t）=0，即bt²+c=0，所以c=ab．
又因為f（x），g（x）在點（t，0）處有相同的切線，所以f'（t）=g'（t）．
而f'（x）=3x²+a，g'（x）=2bx，所以3t²+a=2bt．
將a=-t²代入上式得b=t．因此c=ab=-t³．故a=-t²，b=t，c=-t³．
（II）y=f（x）-g（x）=x³-tx²-t²x+t³，y'=3x²-2tx-t²=（3x+t）（x-t）．
當y'=（3x+t）（x-t）＜0時，函數y=f（x）-g（x）單調遞減．
由y'＜0，若t＞0，則-

t

3

＜x＜t；若t＜0，則t＜x＜-

t

3

．
由題意，函數y=f（x）-g（x）在（-1，3）上單調遞減，則（-1，3）?（-

t

3

，t）或（-1，3）?（t，-

t

3

）．
所以t≥3或-

t

3

≥3．即t≤-9或t≥3．
∴t的取值范圍為（-∞，-9]∪[3，+∞）．

點評：本題主要考查函數與導數的基本知識，幾何意義及其應用，以及利用導數研究曲線上某點切線方程，同時考查學生數形結合思想以及轉化與歸化的能力，屬于中檔題．