Question

【題目】定義在R上的函數y＝f（x）．對任意的a，b∈R．滿足：f（a+b）＝f（a）f（b），當x＞0時，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．

（1）求f（0），f（﹣1）的值；

（2）判斷該函數的單調性，并證明；

（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在上遞增，證明見解析；（3）.

【解析】

（1）用特殊值法令a＝1，b＝0，可得f（0）的值，令a＝1，b＝﹣1，分析可得f（﹣1）的值；（2）由f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）f（x1），結合用定義法求函數單調性的方法可得結論；（3）f（2）＝f（1+1）＝f（1）f（1）＝4，據此分析可得f（x+1）＜4f（x+1）＜f（2）x+1＜2，解可得x的取值范圍，即可得答案．

（1）根據題意，對任意的a，b∈R，滿足f（a+b）＝f（a）f（b）；

令a＝1，b＝0，則f（1）＝f（0）f（1），又由f（1）＞1，則f（0）＝1；

令a＝1，b＝﹣1，則f（0）＝f（1）f（﹣1），又由f（1）＝2，則f（-1）＝；

（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增；

任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，則有x2﹣x1＞0，則f（x2﹣x1）＞1，

f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），

則f（x2）﹣f（x1）＞0，

即函數f（x）為增函數；

（3）根據題意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）f（1）＝4，

則f（x+1）＜4f（x+1）＜f（2）x+1＜2，

解可得：x＜1，

即不等式的解集為（﹣∞，1）．