Question

【題目】若曲線f（x）= （e﹣1＜x＜e2﹣1）和g（x）=﹣x3+x2（x＜0）上分別存在點A、B，使得△OAB是以原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在y軸上，則實數a的取值范圍是（ ）
A.（e，e2）
B.（e， ）
C.（1，e2）
D.[1，e）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設A（x1 ， y1），y1=f（x1）= ，B（x2 ， y2），y2=g（x2）=﹣x23+x22（x＜0）， 則 =0，x2=﹣x1 ， ∴ ．
， ，
由題意， ，即 =0，
∴ ，
∵e﹣1＜x1＜e2﹣1，
∴ ，
則 ．
設h（x）= ，則h′（x）= ，
∵e﹣1＜x＜e2﹣1，
∴h′（x）＞0，
即函數h（x）= 在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上為增函數，
則 ，
即e＜a＜ ．
∴實數a的取值范圍是（e， ）．
故選：B．
由題意設出A，B的坐標，代入函數解析式，利用中點坐標公式把B的坐標用A的坐標表示，由 可得關于A的橫坐標的方程，分離參數a后構造函數h（x）= ，利用導數求其在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上的單調性，得到函數的值域得答案．