Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC= ，點E在AD上，且AE=2ED． （Ⅰ）已知點F在BC上，且CF=2FB，求證：平面PEF⊥平面PAC；
（Ⅱ）當二面角A﹣PB﹣E的余弦值為多少時，直線PC與平面PAB所成的角為45°？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°， ∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，
∴∠ACD=45°，即AD=CD，
∴ ，
∵AE=2ED，CF=2FB，∴ ，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，則AB∥EF，
∴AC⊥EF，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，
∵PA∩AC=A，
∴EF⊥平面PAC，∵EF平面PEF，
∴平面PEF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥AC，AC⊥AB，
∴AC⊥平面PAB，
則∠APC為直線PC與平面PAB所成的角，
若PC與平面PAB所成夾角為45°，則 ，即 ，
取BC的中點為G，連接AG，則AG⊥BC，以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，
則B（1，﹣1，0），C（1，1，0）， ， ，
∴ ， ，
設平面PBE的法向量 ，則 即
令y=3，則x=5， ，∴ ，
∵ 是平面PAB的一個法向量，
∴ ，
即當二面角A﹣PB﹣E的余弦值為 時，直線PC與平面PAB所成的角為45°．

【解析】（Ⅰ）推導出∠ACB=45°，從而∠ACD=45°，進而四邊形ABFE是平行四邊形，推導出AC⊥EF，PA⊥EF，從而EF⊥平面PAC，由此能證明平面PEF⊥平面PAC．（Ⅱ）由PA⊥AC，AC⊥AB，知AC⊥平面PAB，則∠APC為直線PC與平面PAB所成的角，取BC的中點為G，連接AG，則AG⊥BC，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能求出直線PC與平面PAB所成的角．