Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D是線段BC的中點．

（1）求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；
（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，

所以分別以AB、AC、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），

因為D是BC的中點，所以D（1，2，0），

因為 ，設平面A1C1D的法向量 ，

則 ，即 ，取 ，

所以平面A1C1D的法向量 ，而 ，

所以 ，

所以直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值為

（2）解： ， ，

設平面B1A1D的法向量 ，

則 ，即 ，

取 ，平面B1A1D的法向量 ，

所以 ，

二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值 ．

【解析】（1）分別以AB、AC、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值．（2）求出平面B1A1D的法向量和平面B1A1D的法向量，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．