Question

【題目】已知函數f（x）= ax3﹣bex（a∈R，b∈R），且f（x）在x=0處的切線與x﹣y+3=0垂直．
（1）若函數f（x）在[ ，1]存在單調遞增區間，求實數a的取值范圍；
（2）若f′（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求a的取值范圍；
（3）在第二問的前提下，證明：﹣ ＜f′（x1）＜﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f'（x）=ax2﹣bex，所以f'（0）=﹣b=﹣1，所以b=1

由前可知，f'（x）=ax2﹣ex

根據題意：f'（x）＞0在 上有解，即ax2﹣ex＞0在 上有解

即 在 上有解，令 ，故只需

所以 ，所以，當 時，g'（x）＜0，所以g（x）在 上單調遞減，

所以g（x）min=g（1）=e，所以 a＞e

（2）解：令h（x）=f'（x），則h（x）=ax2﹣ex，所以h'（x）=2ax﹣ex

由題可知，h'（x）=0有兩個根x1，x2，即2ax﹣ex=0有兩個根x1，x2，

又x=0顯然不是該方程的根，所以方程 有兩個根，

設φ（x）= ，則φ′（x）= ，當x＜0時，φ'（x）＜0，φ（x）單調遞減；

當0＜x＜1時，φ′（x）＜0，φ（x）單調遞減；當x＞1時，φ′（x）＞0，φ（x）單調遞增．

故要使方程2a= 有兩個根，只需2a＞φ（1）=e，即a＞ ，

所以a的取值范圍是（ ，+∞）

（3）解：由（2）得：0＜x1＜1＜x2

且由h'（x1）=0，得2ax1﹣ =0，所以a= ，x1∈（0，1）

所以f′（x1）=h（x1）=a ﹣ = （ ﹣1），x1∈（0，1），

令r（t）=et（ ﹣1），（0＜t＜1），則r′（t）=et（ ）＜0，

r（t）在（0，1）上單調遞減，

所以r（1）＜r（t）＜r（0），即﹣ ＜f′（x1）＜﹣1．

【解析】（1）求出函數的導數，問題轉化為 在 上有解，令 ，故只需 ，根據函數的單調性求出a的范圍即可；（2）令h（x）=f'（x），則h（x）=ax2﹣ex ， 問題轉化為方程 有兩個根，設φ（x）= ，根據函數的單調性求出a的范圍即可；（3）求出f′（x1）= （ ﹣1），x1∈（0，1），令r（t）=et（ ﹣1），（0＜t＜1），根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．