Question

【題目】已知函數f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，無窮數列{an}的首項a1=a．
（1）如果an=f（n）（n∈N*），寫出數列{an}的通項公式；
（2）如果an=f（an﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得數列{an}是等差數列，求首項a的取值范圍；
（3）如果an=f（an﹣1）（n∈N*且n≥2），求出數列{an}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=2|x+2|﹣|x+1|= ，

又n≥1且n∈N*，∴an=f（n）=n+3

（2）解：如果{an}是等差數列，則an﹣an﹣1=d，an=an﹣1+d，

由f（x）知一定有an=an﹣1+3，公差d=3．

當a1≥﹣1時，符合題意．

當﹣2≤a1≤﹣1時，a2=3a1+5，由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3，得a1=﹣1，a2=2．

當a1≤﹣2時，a2=﹣a1﹣3，由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3，得a1=﹣3，此時a2=0．

綜上所述，可得a的取值范圍是a≥﹣1或a=﹣3

（3）解：當a≥﹣1時，an=f（an﹣1）=an﹣1+3，∴數列{an}是以a為首項，公差為3的等差數列， ．

當﹣2≤a≤﹣1時，a2=3a1+5=3a+5≥﹣1，∴n≥3時，an=an﹣1+3．∴n=1時，S1=a．n≥2時，

又S1=a也滿足上式，∴ （n∈N*）

當a≤﹣2時，a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1，∴n≥3時，an=an﹣1+3．∴n=1時，S1=a．n≥2時，

又S1=a也滿足上式，∴ （n∈N*）．

綜上所述：Sn=

【解析】（1）化簡函數f（x）為分段函數，然后求出an=f（n）=n+3．（2）如果{an}是等差數列，求出公差d，首項，然后求解a的范圍．（3）當a≥﹣1時，求出前n項和，當﹣2≤a≤﹣1時，當a≤﹣2時，分別求出n項和即可．