Question

已知以動點P為圓心的圓與直線y=-相切，且與圓x²+（y-）²=外切．
（Ⅰ）求動P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若M（m，m₁），N（n，n₁）是C上不同兩點，且 m²+n²=1，m+n≠0，直線L是線段MN的垂直平分線．
（1）求直線L斜率k的取值范圍；
（2）設橢圓E的方程為+=1（0＜a＜2）．已知直線L與拋物線C交于A、B兩個不同點，L與橢圓E交于P、Q兩個不同點，設AB中點為R，PQ中點為S，若=0，求E離心率的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據動點P為圓心的圓與直線y=-相切，且與圓x²+（y-）²=外切，建立方程，即可求動P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）（1）求得直線L斜率，根據M，N兩點不同，m²+n²=1且m≠n，可得（m+n）²＜2（m²+n²）=2，即可求得結論；
（2）求出直線方程代入拋物線和橢圓方程，由=0，求得a的范圍，即可求得離心率的范圍．
解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），則有…（2分）
化簡得：x²=y                        …（4分）
（II）（1）因為直線MN的斜率為=m+n
∵l⊥MN，m+n≠0，∴直線L斜率k=-…（6分）
∵M，N兩點不同，m²+n²=1且m≠n，∴（m+n）²＜2（m²+n²）=2
∴0＜|m+n|＜
∴|k|＞
∴k＜-或k＞   …（8分）
（2）l方程為：y-=k（x-），
又m²+n²=1，m+n=-，∴l方程為：y=kx+1代入拋物線和橢圓方程并整理得：x²-kx-1=0①；（a+2k²）x²+4kx+2-2a=0②，易知方程①的判別式＞0恒成立，方程②的判別式
∵，a＞0，∴＞0恒成立              …（10分）
∵R（），S（）
∴由=0得-k²+a（+1）=0
∴a==2-＞2-=
∴
∵=e，∴a=2-2e²＞
∴e²＜
∴0＜e＜             …（14分）
點評：本題考查軌跡方程，考查直線與曲線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．