Question

已知M是以點C為圓心的圓（x+1）²+y²=8上的動點，定點D（1，0）．點P在DM上，點N在CM上，且滿足

DM

=2

DP

，

NP

•

DM

=0．動點N的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）線段AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標原點，求△AOB面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

DM

=2

DP

，

NP

•

DM

=0．知NP為DM的垂直平分線，所以|ND|=|NM|，動點N的軌跡是以點C（-1，0），D（1，0）為焦點的長軸為2

2

的橢圓．由此能求出軌跡E的方程．
（Ⅱ）線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構成三角形，則弦AB不能與x軸垂直，故可設直線AB的方程為y=kx+b，由

y=kx+b x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再由根與系數的關系進行求解．

解答：解：（Ⅰ）∵

DM

=2

DP

，

NP

•

DM

=0．
∴NP為DM的垂直平分線，∴|ND|=|NM|，
又∵|CN|+|NM|=2

2

，∴|CN|+|DN|=2

2

＞2．（3分）
∴動點N的軌跡是以點C（-1，0），D（1，0）為焦點的長軸為2

2

的橢圓．
∴軌跡E的方程為

x2

2

+y2=1．（5分）
（Ⅱ）∵線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構成三角形，則弦AB不能與x軸垂直，故可設直線AB的方程為y=kx+b，
由

y=kx+b x2 2 +y2=1

，
消去y，并整理，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

4kb

1+2k2

，x₁x₂=

2(b2-1)

1+2k2

（8分）
∵|AB|=2，∴

(1+k2)(x2-x1)2

=2．
∴（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=4，
∴(1+k2)[(-

4kb

1+2k2

)2-

8(b2-1)

1+2k2

]=4，
∴

1

1+k2

=2(1-b2)，（11分）
∵1+k²≥1∴

1

2

≤b2＜1． （12分）
又點O到直線AB的距離h=

|b|

k2+1

，
∴S=

1

2

|AB|•h=h
∴S²=h²=2b²（1-b²）=-2(b2-

1

2

)2+

1

2

（13分）
∴0＜S²≤

1

2

，∴0＜S≤

2

2

．（14分）

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．