Question

已知以動點P為圓心的圓與直線y=-

1

20

相切，且與圓x²+（y-

1

4

）²=

1

25

外切．
（Ⅰ）求動P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若M（m，m₁），N（n，n₁）是C上不同兩點，且 m²+n²=1，m+n≠0，直線L是線段MN的垂直平分線．
    （1）求直線L斜率k的取值范圍；
    （2）設橢圓E的方程為

x2

2

+

y2

a

=1（0＜a＜2）．已知直線L與拋物線C交于A、B兩個不同點，L與橢圓E交于P、Q兩個不同點，設AB中點為R，PQ中點為S，若

OR

•

OS

=0，求E離心率的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據動點P為圓心的圓與直線y=-

1

20

相切，且與圓x²+（y-

1

4

）²=

1

25

外切，建立方程，即可求動P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）（1）求得直線L斜率，根據M，N兩點不同，m²+n²=1且m≠n，可得（m+n）²＜2（m²+n²）=2，即可求得結論；
（2）求出直線方程代入拋物線和橢圓方程，由

OR

•

OS

=0，求得a的范圍，即可求得離心率的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），則有

x2+(y- 1 4 )2

-

1

5

=y+

1

20

…（2分）
化簡得：x²=y                        …（4分）
（II）（1）因為直線MN的斜率為

m2-n2

m-n

=m+n
∵l⊥MN，m+n≠0，∴直線L斜率k=-

1

m+n

…（6分）
∵M，N兩點不同，m²+n²=1且m≠n，∴（m+n）²＜2（m²+n²）=2
∴0＜|m+n|＜

2

∴|k|＞

2

2

∴k＜-

2

2

或k＞

2

2

   …（8分）
（2）l方程為：y-

m2+n2

2

=k（x-

m+n

2

），
又m²+n²=1，m+n=-

1

k

，∴l方程為：y=kx+1代入拋物線和橢圓方程并整理得：x²-kx-1=0①；（a+2k²）x²+4kx+2-2a=0②，易知方程①的判別式△1=k2+4＞0恒成立，方程②的判別式△2=8a(a+2k2-1)
∵k2＞

1

2

，a＞0，∴△2=8a(a+2k2-1)＞0恒成立              …（10分）
∵R（

k

2

，

k2

2

+1），S（

-2k

a+2k2

，

a

a+2k2

）
∴由

OR

•

OS

=0得-k²+a（

k2

2

+1）=0
∴a=

2k2

k2+2

=2-

4

k2+2

＞2-

4

1 2 +2

=

2

5

∴

2

5

＜a＜2
∵

2-a 2

=e，∴a=2-2e²＞

2

5

∴e²＜

4

5

∴0＜e＜

2 5

5

             …（14分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與曲線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．