Question

已知動點M到點F（-

2

，0）的距離與到直線x=-

2

2

的距離之比為

2

．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）若過點E（0，1）的直線與曲線C在y軸左側交于不同的兩點A、B，點P（-2，0）滿足

PN

=

1

2

(

PA

+

PB

)，求直線PN在y軸上的截距d的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接設出點M的坐標，列出M的關系式，代入坐標化簡即可．即用直接法求軌跡方程．
（2）由（1）可知動點M的軌跡C為雙曲線，聯立方程，消元，若過點E（0，1）的直線與曲線C在y軸左側交于不同的兩點A、B，即消元后的方程應有兩個負實根，故

k2-1≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

，求出k的范圍．由

PN

=

1

2

(

PA

+

PB

)知N為AB的中點，由維達定理表示出N的坐標，寫出PN的方程，令x=0，用k表示出直線PN在y軸上的截距d，轉化為求函數的值域．

解答：解：（1）設動點M的坐標為（x，y），由題設可知

(x+ 2 )2+y2

|x+ 2 2 |

=

2

，整理得：x²-y²=1，
∴動點M的軌跡C方程為x²-y²=1
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題設直線AB的方程為：y=kx+1，
由

y=kx+1 x2-y2=1

（x≤-1）消去y得：（1-k²）x²-2kx-2=0（x≤-1），
由題意可得：

k2-1≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

解得1＜k＜

2

∴

PN

=

1

2

(

PA

+

PB

)，∴N為AB中點，設N（x₀，y₀）
則x0=

x1+x2

2

=

k

1-k2

，y0=kx0+1=

1

1-k2

，
∴N（

k

1-k2

，

1

1-k2

），P（-2，0），Q（0，d）三點共線可知d=

2

-2k2+k+2

令f（k）=-2k²+k+2，則f（k）在（1，

2

）上為減函數．
∴f（

2

）＜f（k）＜f（1）且f（k）≠0，則d＜-（2+

2

）或d＞2．

點評：本題考查直接法求軌跡方程和直線與雙曲線位置關系的判斷、圓錐曲線中范圍的求解，綜合性強，計算量大．