Question

（2011•重慶三模）已知動點M到點F(

p

2

，0)(p＞0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多

p

2

．
（I）求動點M的軌跡方程；
（II）設動點M的軌跡為C，過點F的直線l與曲線C交于A、B兩點，若y軸正半軸上存在點P使得△PAB是以P為直角頂點的等腰直角三角形，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由題知，點M到點F的距離與它到直線x=-

p

2

的距離相等，可得

(x- p 2 )2+y2

=|x|+

p

2

，即可求出點M的軌跡方程．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點D（x₀，y₀），直線l：y=k(x-

p

2

)，聯(lián)立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，得k2x2-p(2+k2)x+

k2p2

4

=0，由此入手，能求出直線l的方程．

解答：解：（I）由題知，設M（x，y），則因為點M到點F的距離與它到直線x=-

p

2

的距離相等，所以

(x- p 2 )2+y2

=|x|+

p

2

，可得M的軌跡方程為y²=2px或x≤0．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點D（x₀，y₀），直線l：y=k(x-

p

2

)，
聯(lián)立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，得k2x2-p(2+k2)x+

k2p2

4

=0，
則x1+x2=

p(2+k2)

k2

，x1x2=

p2

4

，
∴y1+y2=k(x1+x2-p)=

2p

k

，
y1y2=-

4p2x1x2

=-p²，
∴D(

p(2+k2)

2k2

，

p

k

)，由題知lPD：y-

p

k

=-

1

k

(x-

p(2+k2)

2k2

)，
令x=0得，yp=

p(2+3k2)

2k3

，
又PA⊥PB，
∴

y1-yp

x1-0

•

y2-yp

x2-0

=-1，
化簡，得y_p²-（y₁+y₂）y_p+y₁y₂+x₁x₂=0，
即3k⁶+3k⁴-4k²-4=0，
（3k⁴-4）（k²+1）=0，
解得k=±

2

4 3

（舍負），
∴直線l的方程：y=

2

4 3

(x-

p

2

)．

點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關系，拋物線的簡單性質(zhì)等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．