Question

（2013•深圳二模）已知動點 M 到點 F（0，1）的距離與到直線 y=4 的距離之和為 5．
（1）求動點 M 的軌跡 E 的方程，并畫出圖形；
（2）若直線 l：y=x+m 與軌跡 E 有兩個不同的公共點 A、B，求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，求弦長|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（1）設動點M的坐標為（x，y），根據兩點的距離公式結合題意建立關于x、y的等式，化簡整理得到x²=4y（y≤4）或x²=-16（y-5）（y＞4），從而得到軌跡是由兩個拋物線弧連接而成，其圖形如圖所示；
（2）根據軌跡E的形狀，直線l：y=x+m分別將與拋物線段E₁：y=

1

4

x2（-4≤x≤4）和y=-

1

16

x2+5（（-4≤x≤4）聯解，得到直線l與軌跡E有唯一公共點的兩個界點處m的值，再將直線l平移進行觀察，即可得到實數m的取值范圍；
（3）結合（2）的結論，將兩個拋物線段E₁與E₂的方程與直線l方程聯解，可得交點A．B的橫坐標關于m的式子，運用兩點間的距離公式算出|AB|=

2

（x_B-x_A）=2

2

（

1+m

+2

9-m

-5）．運用導數研究f（m）=

1+m

+2

9-m

（0≤m＜8）的單調性，即可得到當m=1時，|AB|的最大值為20-10

2

．

解答：解：（1）設動點M的坐標為（x，y），根據題意得M的坐標滿足

x2+(y-1)2

+|y-4|=5
化簡整理，得x²=4y（y≤4）或x²=-16（y-5）（y＞4）
其圖形是拋物線y=

1

4

x2和y=-

1

16

x2+5位于-4≤x≤4的部分，如右圖所示
（2）設拋物線y=

1

4

x2和y=-

1

16

x2+5位于-4≤x≤4的部分，分別記為
曲線E₁和E₂，可得E₁與E₂的公共點分別為C（-4，4）和D（4，4）
當直線l：y=x+m經過點C（-4，4），m=8
則由

y=x+8 y=- x2 16 +5

，解得

x=-4 y=4

或

x=-12 y=-4

∵點（-12，4）不是拋物線段E₂上的點
∴要使直線l：y=x+m與軌跡E有兩個不同的公共點，必須m＜8
當線l：y=x+m與拋物線y=

1

4

x2相切時，聯解直線與拋物線方程得切點坐標為（2，1），可得m=-1
因為切點（2，1）在曲線E₁上，所以要使直線l：y=x+m與軌跡E有兩個不同的公共點，必須m＞-1．
綜上所述，可得實數m的取值范圍為（-1，-8）；
（3）當-1≤m＜0時，直線l與軌跡E的兩個不同的公共點A、B均在拋物線段E₁上，且0＜|AB|≤OD=4

2

當0≤m＜8時，直線l與軌跡E的兩個不同的公共點A、B分別在拋物線段E₁上和拋物線段E₂上，
且A點是直線l與拋物線y=

1

4

x2的兩個交點中位于左下方的點，
B點是直線l與拋物線y=-

1

16

x2+5的兩個交點中位于右上方的點（如圖所示）
由

y=x+m y= x2 4

，解之得x=2±2

1+m

，點A的橫坐標為x_A=2-2

1+m

，
由

y=x+m y=- x2 16 +5

，解之得x=-8±4

9-m

，點B的橫坐標為x_B=-8+4

9-m

．
∴|AB|=

2

（x_B-x_A）=2

2

（

1+m

+2

9-m

-5）
令f（m）=

1+m

+2

9-m

（0≤m＜8）
由f'（m）=

1

2 1+m

-

1

9-m

=

9-m -2 1+m

2 1+m 9-m

=

5(1-m)

2 1+m 9-m ( 9-m +2 1+m )

∴當m∈[0，1）時，f'（m）＞0，f（m）是單調增函數；當m∈（1，8）時，f'（m）＜0，f（m）是單調減函數
因此，當m=1時，f（m）取得最大值[f（m）]_max=f（1）=5

2

，
即當m=1時，|AB|的最大值為20-10

2

．

點評：本題給出動點M滿足的條件，求M的軌跡方程，并討論了直線l與M的軌跡相交截得弦AB長度最大值．著重考查了拋物線的簡單幾何性質、直線與拋物線的位置關系、利用導數研究函數的單調性和軌跡方程的討論等知識，屬于中檔題．