Question

已知向量

m

=(cosα-

3

2

，1)，

n

=(sinα，-1)，

m

∥

n

，α∈[0，π]，則sinα+cosα=

3

2

，cos2α=

-

15

4

．

Answer 1

分析：由兩個向量平行的條件，列出關于角α的式子，化簡即得sinα+cosα=

3

2

．再利用同角三角函數的關系，算出sinα-cosα=

5

2

，從而得出cos2α=cos²α-sin²α=-

15

4

．

解答：解：∵

m

=(cosα-

3

2

，1)，

n

=(sinα，-1)，

m

∥

n

，
∴(cosα-

3

2

)×(-1)=sinα，化簡得sinα+cosα=

3

2

由（sinα+cosα）²+（sinα-cosα）²=2，
得

3

4

+（sinα-cosα）²=2，解之得（sinα-cosα）²=

5

4

∵α∈[0，π]，2sinαcosα=（sinα+cosα）²-1=-

1

4

＜0
∴α為鈍角，得sinα-cosα=

5

2

因此，cos2α=cos²α-sin²α=-（sinα+cosα）（sinα-cosα）=-

15

4

故答案為：

3

2

，-

15

4

點評：本題給出向量含有α三角函數的坐標式，在向量平行的情況下求三角函數式的值．著重考查了向量平行的條件、同角三角函數的關系和二倍角三角公式等知識，屬于中檔題．