Question

已知向量

m

=(cosωx，sinωx)，

n

=(cosωx，

3

cosωx)，設函數f(x)=

m

•

n

．
（1）若f（x）的最小正周期是2π，求f（x）的單調遞增區間；
（2）若f（x）的圖象的一條對稱軸是x=

π

6

，（0＜ω＜2），求f（x）的周期和值域．

Answer 1

分析：（1）若函數的最小正周期為2π，結合正弦型函數中T=

2π

ω

，我們易求出ω的值，進行給出函數的解析式，然后再根據正弦型函數求單調區間的方法，即可求出f（x）的單調遞增區間；
（2）若f（x）的圖象的一條對稱軸是x=

π

6

，（0＜ω＜2），則當x=

π

6

時，函數的相位角，應落在Y軸上，根據（0＜ω＜2）我們易給出ω的值，然后求出函數的解析式，然后再根據正弦型函數求周期和值域的方法，即可求出f（x）的周期和值域．

解答：解：（1）f(x)=cos2x+

3

sinωx•cosωx
=

cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx+

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

∵T=

2π

2ω

=2π∴ω=

1

2

則f(x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]為單調遞增區間；
（2）∵x=

π

6

是函數的一條對稱軸
∴2ω×

π

6

+

π

6

=kπ+

π

2

∴ω=3k+1
又∵0＜ω＜2∴當k=0時，ω=1
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

∴周期為π，值域為[-

1

2

，

3

2

]．

點評：函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數的周期與最值一般是要將其函數的解析式化為正弦型函數，再根據最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進行求解．如果求其在區間上的值域和最值，則要結合圖象進行討論．