Question

已知向量

m

=(cosθ，sinθ)，

n

=(1-

3

sinθ，

3

cosθ)，θ∈（0，π），若|

m

+

n

|=2

2

，求cos(

θ

2

+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：先求出

m

+

n

的坐標，根據 |

m

+

n

|=2

2

可得 sin(

π

6

-θ)=

3

4

，利用誘導公式求出 cos（

π

3

+θ）=

3

4

，再由半角公式求得 cos(

θ

2

+

π

6

)=

1+cos( π 3 + θ 2 ) 2

的值．

解答：解：∵|

m

+

n

|=2

2

，向量

m

=(cosθ，sinθ)，

n

=(1-

3

sinθ，

3

cosθ)，θ∈（0，π），

m

+

n

=（1-

3

sinθ+cosθ，sinθ+

3

cosθ）．
∴(1-

3

sinθ+cosθ)2+(sinθ+

3

cosθ)2=8，化簡可得 2cosθ-2

3

sinθ=3，
∴sin(

π

6

-θ)=

3

4

．…（4分）
∴0＜θ＜

π

6

，且 cos（

π

3

+θ）=cos[

π

2

-（

π

6

-θ）]=sin(

π

6

-θ)=

3

4

．…（6分）
 故 cos(

θ

2

+

π

6

)=

1+cos( π 3 + θ 2 ) 2

=

1+ 3 4 2

=

7 8

=

14

4

． …（12分）

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，求向量的模的方法，兩角和差的余弦公式、誘導公式、半角公式的應用，屬于中檔題．