Question

已知向量

m

=(cos θ，sin θ)和

n

=(

2

-sin θ，cos θ)，θ∈（π，2π），且|

m

+

n

|=

8 2

5

，求sinθ和cos(

θ

2

+

π

8

)的值．

Answer 1

分析：根據向量的坐標運算求出

m

+

n

，然后表示出

m

+

n

的模，利用同角三角函數間的基本關系、兩角和的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，讓模等于

8 2

5

，列出關于cos（θ+

π

4

）的方程，兩邊平方即可得到cos（θ+

π

4

）的值，根據二倍角的余弦函數公式化簡cos（θ+

π

4

），得到cos2(

θ

2

+

π

8

)的值，然后根據θ的范圍求出

θ

2

+

π

8

的范圍，進而判斷出cos（

θ

2

+

π

8

）的正負，開方即可求出值．

解答：解：

m

+

n

=(cosθ-sinθ+

2

，cosθ+sinθ)，
|

m

+

n

|=

(cosθ-sinθ+ 2 )2+(cosθ+sinθ)2

=

4+2 2 (cosθ-sinθ)

=

4+4cos(θ+ π 4 )

．
=2

1+cos(θ+ π 4 )

由已知|

m

+

n

|=

8 2

5

，得cos(θ+

π

4

)=

7

25

，
∴sin（θ+

π

4

）=

1-( 7 25 )2

=

24

25

，
∴sinθ=sin[（θ+

π

4

）-

π

4

]=

2

2

×（

24

25

-

7

25

）=

17 2

50

；
又cos(θ+

π

4

)=2cos2(

θ

2

+

π

8

)-1，
所以cos2(

θ

2

+

π

8

)=

16

25

．
∵π＜θ＜2π，∴

5π

8

＜

θ

2

+

π

8

＜

9π

8

，
∴cos(

θ

2

+

π

8

)＜0．
∴cos(

θ

2

+

π

8

)=-

4

5

．

點評：此題考查學生會求向量的模，靈活運用兩角和與差的余弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，靈活運用二倍角的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，是一道綜合題．