Question

設動圓M滿足條件p：經過點，且與直線相切；記動圓圓心M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知點M₁為軌跡C上縱坐標為m的點，以M₁為圓心滿足條件p的圓與x軸相交于點F、A（A在F的右側），又直線AM₁與軌跡C相交于兩個不同點M₁、M₂，當OM₁⊥OM₂（O為坐標原點）時，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可以看出點M的軌跡是以F為焦點，以L為準線的拋物線．，就可求出對應軌跡C的方程；
（Ⅱ）先求出點M₁和點點A的坐標以及直線AM₁的方程，再把直線方程與拋物線方程聯立，求出關于點M₁、M₂坐標的方程，借助于x₁•x₂+y₁•y₂=0即可求出m的值．
解答：解：（Ⅰ）由題得，點M到點F（，0）的距離與到直線x=-的距離相等．
所以點M的軌跡是以F為焦點，以L為準線的拋物線．
故所求軌跡C的方程為y²=2x．
（Ⅱ）因為M₁在拋物線y²=2x
上，所以M₁的坐標為（，m），則點A的坐標為（m²-，0），
又點A在點F右側，所以必有m²＞1，
所以直線AM₁的方程為y=（x-m²+）．
設M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂），
由⇒y²-y+=0，
顯然△＞0，所以y₁+y₂=，y₁•y₂=1-2m²．x₁•x₂==，
當OM₁⊥OM₂時，有x₁•x₂+y₁•y₂=0．
即+1-2m²=0．
又m²＞1，∴m²=⇒m=..
點評：本題涉及到求軌跡方程問題．在求軌跡方程時，一般都是利用條件找到一個關于動點的等式，整理即可求出動點的軌跡方程．