Question

設動點M（x，y）（x≥0）到定點F（1，0）的距離比它到y軸的距離大1．記點 M的軌跡為曲線C，P是滿足

OP

+λ

OF

=

0

（O為直角坐標系的原點）的點，過點 P作直線 l交曲線 C于A、B兩點．
（Ⅰ）當λ為何值時，以 AB為直徑的圓經過點 O？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求過O、A、B三點的圓面積最小時圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由拋物線的定義求出曲線C的方程是y²=4x，根據P是滿足

OP

+λ

OF

=

0

得到P點坐標，將“以 AB為直徑的圓經過點 O”轉化為向量的數量積為0，結合要根與系數的關系即可求得λ值．
（Ⅱ）利用（I）中得到的關于x的二次方程，表示出圓的直徑，再利用求函數最值的方法求出直徑的最小值即得．

解答：解：（Ⅰ）依題意知，動點M到定點F（1，0）的距離等于M到直線x=-1的距離，
曲線C是以原點為頂點，F（1，0）為焦點的拋物線．
∴曲線C的方程是y²=4x．（2分）
∵

OP

+λ

OF

=

0

，∴P（-λ，0）．
設直線AB：x=ty-λ，代入y²=4x，得y²-4ty+4λ=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4t，y₁y₂=4λ．
以AB為直徑的圓經過直角坐標系的原點O，
則OA⊥OB，

OA

•

OB

=0.x1x2+y1y2=

y 2 1 • y 2 2

4×4

+y1y2=0
∴y₁y₂=-16∴4λ=-16
∴λ=-4．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）y₁+y₂=4t，y₁y₂=-16.|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+t2)(y1-y2)2

=

(1+t2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+t2)[(4t)2+64]

=4

(1+t2)(4+t2)

=4

t4+5t2+4

當t=0時，|AB|有最小值8，此時圓的面積最小．其方程為（x-4）²+y²=16．（12分）

點評：本題主要考查了圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．