Question

設(shè)動(dòng)圓M滿足條件p：經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相切；記動(dòng)圓圓心M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M₁為軌跡C上縱坐標(biāo)為m的點(diǎn)，以M₁為圓心滿足條件p的圓與x軸相交于點(diǎn)F、A（A在F的右側(cè)），又直線AM₁與軌跡C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)M₁、M₂，當(dāng)OM₁⊥OM₂（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可以看出點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以L為準(zhǔn)線的拋物線．，就可求出對(duì)應(yīng)軌跡C的方程；
（Ⅱ）先求出點(diǎn)M₁和點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)以及直線AM₁的方程，再把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出關(guān)于點(diǎn)M₁、M₂坐標(biāo)的方程，借助于x₁•x₂+y₁•y₂=0即可求出m的值．
解答：解：（Ⅰ）由題得，點(diǎn)M到點(diǎn)F（，0）的距離與到直線x=-的距離相等．
所以點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以L為準(zhǔn)線的拋物線．
故所求軌跡C的方程為y²=2x．
（Ⅱ）因?yàn)镸₁在拋物線y²=2x
上，所以M₁的坐標(biāo)為（，m），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m²-，0），
又點(diǎn)A在點(diǎn)F右側(cè)，所以必有m²＞1，
所以直線AM₁的方程為y=（x-m²+）．
設(shè)M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂），
由⇒y²-y+=0，
顯然△＞0，所以y₁+y₂=，y₁•y₂=1-2m²．x₁•x₂==，
當(dāng)OM₁⊥OM₂時(shí)，有x₁•x₂+y₁•y₂=0．
即+1-2m²=0．
又m²＞1，∴m²=⇒m=..
點(diǎn)評(píng)：本題涉及到求軌跡方程問題．在求軌跡方程時(shí)，一般都是利用條件找到一個(gè)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等式，整理即可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．