【題目】已知函數
.
（1）若
在
上是減函數，求實數
的最大值；
（2）若
，求證：
.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
（1）根據函數單調性可將問題轉化為
在
上恒成立問題，通過分離變量的方式將問題轉化為
，利用導數求得
的最大值，進而得到結果；
（2）將問題轉化為
的證明；利用
單調遞增和零點存在定理可確定存在
，使得
，從而得到
；根據導函數正負可確定
單調性，進而得到
，化簡后，結合基本不等式可證得結論.
由函數解析式可知，定義域為
.
（1）
，
在上是減函數，
在上恒成立，即
恒成立
令，則
，
在上單調遞增，
，
，解得：
，
的最大值為
.
（2）由（1）知：，則
，
在上單調遞增.
，當
時，
，
，此時
，
由零點存在定理可知，存在，使得，即，
.
當
時，；當
時，
，
當時，單調遞減；當時，單調遞增，
（當且僅當
，即
時取等號）.
當
時，
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】廣東省的生產總值已經連續30年位居全國第一位，如表是廣東省從2012年至2018年7年的生產總值以人民幣（單位：萬億元）計算的數據：
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代號x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
廣東省生產總值y（單位：萬億元） | 5.71 | 6.25 | 6.78 | 7.28 | 8.09 | 8.97 | 9.73 |
（1）從表中數據可認為x和y的線性相關性較強，求出以x為解釋變量、y為預報變量的線性回歸方程（系數精確到0.01）；
（2）廣東省2018年人口約為1.13億，德國2018年人口約為0.83億.從人口數量比較看，廣東省比德國人口多，但德國2018年的生產總值為4.00萬億美元，以（1）的結論為依據，預測廣東省在哪年的生產總值能超過德國在2018年的生產總值？
參考數據：
yi=52.81，
xiyi=230.05， yi2=411.2153， xi2=140.
貨幣兌換：1美元≈7.03元人民幣
參考公式：回歸方程
x
中斜率
和截距
的最小二乘估計公式分別為：
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校從參加某次知識競賽的同學中，選取60名同學將其成績（單位：分.百分制，均為整數）分成
，
，
，
，
，
六組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題.
（1）求分數在內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
（2）從頻率分布直方圖中，估計本次考試成績的眾數和平均數；
（3）若從第1組和第6組兩組學生中，隨機抽取2人，求所抽取2人成績之差的絕對值大于10的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數組
，如果數組
滿足
，且
，其中
，則稱
為
的“兄弟數組”.
（1）寫出數組
的“兄弟數組”
；
（2）若
的“兄弟數組”是
，試證明：
成等差數列；
（3）若
為偶數，且的“兄弟數組”是，求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
的實軸端點分別為
，記雙曲線的其中一個焦點為
，一個虛軸端點為
，若在線段
上（不含端點）有且僅有兩個不同的點
，使得
，則雙曲線的離心率
的取值范圍是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校為了解高三年級不同性別的學生對體育課改上自習課的態度（肯定還是否定），進行了如下的調查研究.全年級共有
名學生，男女生人數之比為
，現按分層抽樣方法抽取若干名學生，每人被抽到的概率均為
．
（1）求抽取的男學生人數和女學生人數；
（2）通過對被抽取的學生的問卷調查，得到如下
列聯表：
否定 | 肯定 | 總計 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
總計 |
①完成列聯表；
②能否有
的把握認為態度與性別有關？
（3）若一班有
名男生被抽到，其中
人持否定態度，
人持肯定態度；二班有名女生被抽到，其中
人持否定態度，人持肯定態度．
現從這
人中隨機抽取一男一女進一步詢問所持態度的原因，求其中恰有一人持肯定態度一人持否定態度的概率．
解答時可參考下面臨界值表：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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