Question

【題目】（已知數列{}滿足：，為數列的前項和．

（1） 若{}是遞增數列，且成等差數列，求的值；

（2） 若，且{}是遞增數列，{}是遞減數列，求數列{}的通項公式；

（3） 若，對于給定的正整數，是否存在一個滿足條件的數列，使得，如果存在，給出一個滿足條件的數列，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）詳見解析

【解析】

（1）因為是遞增數列，所以．而，因此又成等差數列，所以，因而，解得

當時，，這與是遞增數列矛盾，故.

（2）由于是遞增數列，因而，于是

但，所以①

. ②

由①，②知，，

因此③

因為是遞減數列，同理可得，，

故④

由③，④即知，．

于是

.

故數列的通項公式為

（3）令

因為，……，

所以

因為

所以為偶數,

所以要使為偶數,

即4整除.

當：

時，有

當不能被4整除，

此時不存在數列，使得．