Question

【題目】設命題p：不等式x﹣x2≤a對x≥1恒成立，命題q：關于x的方程x2﹣ax+1=0在R上有解．
（1）若p為假命題，求實數a的取值范圍；
（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵￢p為假命題，

∴命題p為真命題；

∵x﹣x2在x∈[1，+∞）單調遞減，

∴x﹣x2的最大值為0，

故a≥0

（2）解：命題q：△=a2﹣4≥0，

∴a≥2或a≤﹣2，

“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，等價于p真q假，或者p假q真，

則 或 ，

∴實數a的取值范圍為a≤﹣2或0≤a＜2

【解析】（1）若p為假命題，則p為真命題，進而可得實數a的取值范圍；（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p真q假，或者p假q真，進而可得實數a的取值范圍；
【考點精析】利用命題的真假判斷與應用對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．