Question

【題目】如圖1所示，在邊長為24的正方形中，點在邊上，且， ，作分別交、于點，作分別交于點，將該正方形沿折疊，使得與重合，構成如圖2所示的三棱柱.

（1）求證： 平面；

（2）求多面體的體積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)416.

【解析】試題分析：

(1)由題意可證得AB⊥BC，AB⊥BB1，利用線面垂直的判定定理即可證得AB⊥平面BCC1B1.

(2)利用多面體的幾何特征可得多面體A1B1C1－APQ的體積V＝VABC－A1B1C1－VA－CQPB＝416

試題解析：

(1)由題知，在圖2中，AB＝6，BC＝8，CA＝10，

∴AB2＋BC2＝CA2，∴AB⊥BC.

又∵AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，∴AB⊥平面BCC1B1.

(2)由題易知三棱柱ABC－A1B1C1的體積為×6×8×24＝576.

∵在圖1中，△ABP和△ACQ都是等腰直角三角形，

∴AB＝BP＝6，AC＝CQ＝14，

∴VA－CQPB＝×S四邊形CQPB×AB＝××(6＋14)×8×6＝160.

∴多面體A1B1C1－APQ的體積V＝VABC－A1B1C1－VA－CQPB＝576－160＝416