Question

已知a，b，c分別是三角形ABC中角A，B，C的對邊，關于x的方程b（x²+1）+c（x²-1）-2ax=0有兩個相等的實根且sinCcosA-cosCsinA=0，則△ABC的形狀為（　　）

A．等腰非等邊三角形

B．等邊三角形

C．直角非等腰三角形

D．等腰直角三角形

Answer 1

分析：由已知方程有兩個相等的實數根，得到根的判別式等于0列出關系式，利用勾股定理的逆定理判斷出B為直角，然后利用兩角差的正弦函數公式化簡已知的等式，根據C-A的范圍，得到A與C相等，進而得到原三角形為等腰直角三角形．

解答：解：∵（b+c）x²-2ax+（b-c）=0有相等實根，
∴△=4a²-4（b+c）（b-c）=0，
∴a²+c²-b²=0，∴B=90°，
∵sinCcosA-cosCsinA=0，∴sin（C-A）=0，
∵-

π

2

＜C-A＜

π

2

，
∴C-A=0，即A=C，
∴△ABC是B為直角的等腰直角三角形．
故選D．

點評：本題考查學生掌握根的判別式與方程解的關系，考查兩角和與差的正弦函數公式，屬于中檔題．