Question

已知a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對邊，且sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC．
 （1）求角B的大小；
 （2）若c=3a，求tanA的值．

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理，將已知等式化簡得a²+c²-b²=ac，結合余弦定理算出cosB=

1

2

，從而可得角B的大小為

π

3

；
（2）由c=3a結合正弦定理，得sinC=3sinA，而sinC=sin（A+B），將B=

π

3

代入展開并化簡得

3

2

cosA=

5

2

sinA，最后根據同角三角函數的商數關系，可算出tanA的值．

解答：解：（1）∵sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC，
∴根據正弦定理，得a²+c²-b²=ac
因此，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

∵B∈（0，π），∴B=

π

3

，即角B的大小為

π

3

；
（2）∵c=3a，∴根據正弦定理，得sinC=3sinA
∵B=

π

3

，
∴sinC=sin（A+B）=sin（A+

π

3

）=3sinA
可得

1

2

sinA+

3

2

cosA=3sinA，得

3

2

cosA=

5

2

sinA
兩邊都除以cosA，得

3

2

=

5

2

tanA，所以tanA=

3

5

．

點評：本題給出三角形的三個角的正弦的關系式，求角B的大小并在c=3a的情況下求tanA的值．著重考查了利用正余弦定理解三角形、兩角和的正弦公式和同角三角函數的基本關系等知識，屬于中檔題．