Question

已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C的對邊，且滿足2asinB-

3

b=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）當A為銳角時，求函數y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據正弦定理，將已知等式化簡可得sinA=

3

2

，結合A∈（0，π），得A=

π

3

或A=

2π

3

；
（II） 由（I） 的結論得A=

π

3

，從而得出B+C=

2π

3

，由此將C=

2π

3

-B代入化簡，得y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）=2sin（B+

π

6

），根據正弦函數的圖象與性質，并結合0＜B＜

2π

3

可得函數y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵2asinB-

3

b=0 
∴由正弦定理，得：2sinAsinB=

3

sinB，
∵B為三角形內角，可得sinB＞0…（3分）
∴2sinA=

3

，得到sinA=

3

2

…（5分）
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

或A=

2π

3

           …（7分）
（Ⅱ）∵A為銳角，∴結合（I）的結論可得A=

π

3

因此，B+C=π-A=

2π

3

，可得：0＜B＜

2π

3

，…（9分）
將C=

2π

3

-B代入，得
y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）=

3

sinB+sin（

π

2

-B）
=

3

sinB+cosB=2sin（B+

π

6

）      …（12分）
∵0＜B＜

2π

3

，可得

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，得2sin（B+

π

6

）∈（1，2]，
因此，當B=

π

3

時，函數y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）的最大值為2        …（14分）

點評：本題給出三角形的邊角關系，求A的大小并由此求關于B、C的三角函數式的最大值，著重考查了正、余弦定理及三角函數的圖象與性質等知識，同時考查運算求解能力和邏輯思維能力，屬于中檔題．