Question

已知橢圓的左、右焦點分別是、，離心率為，橢圓上的動點到直線的最小距離為2，延長至使得，線段上存在異于的點滿足.

（1）  求橢圓的方程；
（2）  求點的軌跡的方程；
（3）  求證：過直線上任意一點必可以作兩條直線
與的軌跡相切，并且過兩切點的直線經過定點.

Answer 1

（1）；（2）；（3）直線經過定點（1,0）.

本試題主要考查了圓與直線，以及橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系的綜合運用。
解：（1）依題意得，   ………………………………………………2分
解得，∴ ……………………………………………………………3分
橢圓的方程為  …………………………………………………………………4分
（2）解法1：設點T的坐標為(x,y).
當重合時，點坐標為和點，    …………………………………5分
當不重合時，由，得. ……………………………6分
由及橢圓的定義，， …………7分
所以為線段的垂直平分線，T為線段的中點
在中，， …………………………………………8分
所以有.
綜上所述，點的軌跡C的方程是.   …………………………………9分
（3）  直線與相離，
過直線上任意一點可作圓的兩條切線   …………10分
所以
所以O,E,M,F四點都在以OM為直徑的圓上，  …………………………11分
其方程④      …………………………12分
EF為兩圓的公共弦，③-④得：EF的方程為4X+ty -4=0      ………13分
顯然無論t為何值，直線ef經過定點(1,0).          ………………14分