Question

如圖6，已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)F（1,0）且與x軸相切，點(diǎn)F 關(guān)于圓心M 的對稱點(diǎn)為 F'，動(dòng)點(diǎn)F’的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)是曲線C上的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)A任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，分別與曲線C相交于另外兩點(diǎn)P 、Q．
①證明：直線PQ的斜率為定值；
②記曲線C位于P 、Q兩點(diǎn)之間的那一段為l．若點(diǎn)B在l上，且點(diǎn)B到直線PQ的
距離最大，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）；（2）見解析.

第一問中利用直線育園的位置關(guān)系可知得到曲線C的軌跡方程
第二問中，（法1）由題意，直線AP的斜率存在且不為零，如圖6－2．
設(shè)直線AP的斜率為k（），則直線AQ的斜率為-k． ………………6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214041079634.png" style="vertical-align:middle;" />是曲線C：上的點(diǎn)，
所以，直線AP的方程為．
由與聯(lián)立，
解之得，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)，
以-k替換k，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,)
所以直線PQ的斜率為定值
再就是由①可知，，，
，所以直線QP的方程為，
整理得得到B的坐標(biāo)。
解：（1）（法1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓M上，
且點(diǎn)F關(guān)于圓心M的對稱點(diǎn)為F’，
所以，              …………1分
且圓M的直徑為．…………2分
由題意，動(dòng)圓M與y軸相切，
所以，兩邊平方整理得：，
所以曲線C的方程為．            ………………………………5分
（法2）因?yàn)閯?dòng)圓M過定點(diǎn)且與x軸相切，所以動(dòng)圓M在x軸上方，
連結(jié)FF’，因?yàn)辄c(diǎn)F關(guān)于圓心M的對稱點(diǎn)為F’，所以FF’為圓M的直徑．
過點(diǎn)M作軸，垂足為N，過點(diǎn)F’作軸，垂足為E（如圖6－1）．
在直角梯形EOFF’中，，
即動(dòng)點(diǎn)F’到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大1．……………………………3分
又動(dòng)點(diǎn)F’于軸的上方（包括軸上），
所以動(dòng)點(diǎn)F’到定點(diǎn)的距離與到定直線y=-1的距離相等．
故動(dòng)點(diǎn)F’的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線y=1為準(zhǔn)線的拋物線．
所以曲線C的方程為．            ……………………………5分

（2）①（法1）由題意，直線AP的斜率存在且不為零，如圖6－2．
設(shè)直線AP的斜率為k（），則直線AQ的斜率為-k． ………………6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214041079634.png" style="vertical-align:middle;" />是曲線C：上的點(diǎn)，
所以，直線AP的方程為．
由與聯(lián)立，
解之得，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)，
以-k替換k，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,)，．      ………………8分
所以直線PQ的斜率為定值．………………10分
（法2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214041079634.png" style="vertical-align:middle;" />是曲線C：上的點(diǎn)，所以，
又點(diǎn)P、Q在曲線C：上，所以可設(shè)，，    …6分
而直線AP，AQ的傾斜角互補(bǔ)，
所以它們的斜率互為相反數(shù)，即，整理得．8分
所以直線pq的斜率為定值．  ………10分
②（法1）由①可知，，
，所以直線QP的方程為，
整理得．                  …………11分
設(shè)點(diǎn)在曲線段l上，因?yàn)镻、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和，
所以B點(diǎn)的橫坐標(biāo)X在和之間，
所以，從而．
點(diǎn)B到直線QP的距離d=．………12分
當(dāng)時(shí)，d的最大值為．
注意到，所以點(diǎn)在曲線段L上．
所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)是．…………………………………………14分

（法2）由①可知，，結(jié)合圖6－3可知，
若點(diǎn)B在曲線段L上，且點(diǎn)B到直線PQ的距離最大，
則曲線C在點(diǎn)B處的切線L//QP．  ………………11分
設(shè)L：，由方程組
與，聯(lián)立可得
消去y，得．
令△=0，整理，得．……12分
代入方程組，解得，．
所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)是．……………………………………………14分
（法3）因?yàn)閽佄锞�C：關(guān)于y軸對稱，
由圖6－4可知，當(dāng)直線AP的傾斜角大于00且趨近于00時(shí)，直線AQ的傾斜角小于1800且趨近于1800，即當(dāng)直線AP的斜率大于0且趨近于0時(shí)，直線AQ的斜率小于0且趨近于0．
從而P、Q兩點(diǎn)趨近于點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)．……11分

由拋物線C的方程和①的結(jié)論，
得，．
所以拋物線C以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線L//PQ．
……………………12分
所以曲線段L上到直線QP的距離最大的點(diǎn)就是點(diǎn)A’，
即點(diǎn)B、點(diǎn)A’重合．
所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)是．……………14分